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韦达与古今数学之变

2018-11-09 08:37:03

  提到文艺复兴时期的著名数学家韦达,当代中学生恐怕对他的大名并不陌生。因为在中学数学中经常用到的一元二次方程的“求根公式”,就叫“韦达定理”。

  韦达定理的推导似乎并不难,事实上一个学过初学代数的中学生就足以完成这一推导——对于任意形如ax2+bx+c=0的方程,只要把方程左边化为(x-x1)(x-x2)=0的形式,x1和x2就是两个根了,说白了也就是几步四则运算罢了。

  但是,为什么这样一个简单的推导,竟要等到16世纪才由韦达完成呢?古代的数学家难道不会解方程吗?

  韦达的这个方程,古代数学家还真的不会解。韦达之所以被称作现代代数学之父,他最伟大的贡献并不是在于给出了方程的根的通式,而是给出了方程本身的通式。这一创造标志着现代数学对古代数学完成了最大的颠覆。

  在“代数之父”花拉子米那里,他的代数学著作通篇都是文字与图形,并没有使用符号来表达的式子,甚至连他自己引入的阿拉伯数字,也极少使用。所以韦达的工作,还建立在对缩写符号的普遍应用之上。这一工作一方面是基于对古希腊数学家丢番图著作的重新阐释,另一方面也依赖于欧洲中世纪以来商人传统下各种运算符号的发明和普及。而韦达作为科学家,并不像商人那样,只是把缩写符号当作一种便利的手段,他追求的是科学的目标:普遍性。因此他进一步发扬了符号的应用,完成了最后这临门一脚——用符号来表示已知数。

  用符号来表示未知数的做法早已有之,但用符号指代已知量的做法显得更曲折一些。

  广义上讲,早在欧几里德时,就会用ab表示a点到b点之间的线段,在中世纪数学家那里,有时会更简略地用b表示线段AB。但线段a和系数a还不是一回事,用a表示一条线段,因为前者是一个具体的对象,或者说是一段有确定长度的量,而后者是一个纯粹的“数”,没有单位的“数”。于是这里我们就遇到了韦达工作的又一项标志性的意义:把古希腊以来数学家坚持明确区分的数与量给混同了,并把量的同类性原则消解掉了。

  一个数可以加上另一个数,这是基本的算术运算,但一个量并不总是能加上另一个量。比如说,我们用a表示一条线段,b指代一个面积,那么a+b是什么意思呢?一条线段怎么能和一块面积相加呢?也就是说,只有同类的量在特定的语境下才是可以相加的,这种量的运算的同类性原则,在韦达本人那里仍然顽固地保留着,在x3+ax=b这样的方程中,韦达把a称作“面”,把b称作“体”。但事实上,当我们用a、b、c这些中性的字母来表达它们时,它们就被直接称作“a”或“b”,而没有人再去纠结它们实质上是“a面”还是“a体”的问题了。最终在笛卡尔那里,通过引入“单位1”,同类性原则被彻底打破,这是后话了。

  韦达符号代数的建立,意义不仅在于改变了人们解方程的方法,更重要的是,改变了人们对于数学与现实关系的理解。人们自古以来就善于运用各种抽象符号,文字本身就是一种抽象符号。但在古代,抽象符号的意义始终附着于被抽象物本身,当人们对抽象符号进行运算的时候,心目中想的始终还是被抽象物之间的关系,符号只是一种方便言说的缩写代号,当人们进行数学运算时,其实是在通过符号,求解某些现实事物之间的关系。所以人们对于符号背后究竟指代的是什么,总是非常谨慎的。

  比如负数、无理数、虚数之类的东西,它们作为抽象符号,被抽象的那个现实的事物究竟是什么呢?这些问题直到20世纪也没有完全争论清楚。然而在符号代数的视野下,符号不再总是被用来指代一个具体的量,而是可以指代一个“一般的数”。数本身没有任何具体性,而是完全中性的,没有单位或量纲。于是,人们可以把某个方程究竟有什么现实意义这一问题搁置一边,而专注于演算符号之间的运算规则。

  这样我们才能够理解,为什么一个现代小学生就可以轻松地理解“负数”的概念,而古代最伟大的数学家却理解不了。这是因为思考的方向完全不同,他们的出发点是现实的事物及其关系,而我们的出发点的是符号及其运算规则。

  在某种意义上说,韦达标志着数学从古老的自然哲学传统中独立出来,成为一个自圆其说的符号系统。与同样与传统割裂的力学一样,现代数学是用合法性(合规则性)取代了对合理性的诉求。

  (胡翌霖 作者系清华大学科技史系助理教授)

来源:科技日报
编辑:姚怡梦

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